8. Найдите значение выражения sqrt(54 * 90 * 15)

Решение:

1. Разложим числа под корнем на простые множители:
• \( 54 = 2 \cdot 3^3 \)
• \( 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)
2. Перемножим множители:
• \( 54 \cdot 90 \cdot 15 = (2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^{3+2+1} \cdot 5^{1+1} = 2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2 \)
3. Извлечем квадратный корень:
• \( \sqrt{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^2} = 2^1 \cdot 3^{6/2} \cdot 5^1 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)
4. Вычислим: \( 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270 \)

Ответ: 270