8. Найдите значение выражения \( \sqrt{54 \cdot 90 \cdot 15} \).

Решение:

Для упрощения выражения разложим числа под корнем на простые множители:

1. \( 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 \).
2. \( 90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \).
3. \( 15 = 3 \cdot 5 \).
4. Перемножим разложения: \( 54 \cdot 90 \cdot 15 = (2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \).
5. Сгруппируем одинаковые множители: \( 2^2 \cdot 3^{3+2+1} \cdot 5^{1+1} = 2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2 \).
6. Теперь извлечём корень: \( \sqrt{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2} = 2^1 \cdot 3^{6/2} \cdot 5^1 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \).
7. Вычислим результат: \( 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270 \).

Ответ: 270.