9. Вычислить интеграл ∫₀² (25x⁴ + 16x³ - 3x²)dx.

Решение:

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции \( 25x^4 + 16x^3 - 3x^2 \).

Первообразная \( F(x) = \int (25x^4 + 16x^3 - 3x^2) dx \)

\( F(x) = 25 \frac{x^5}{5} + 16 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} + C \)

\( F(x) = 5x^5 + 4x^4 - x^3 + C \)

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_0^2 (25x^4 + 16x^3 - 3x^2) dx = [5x^5 + 4x^4 - x^3]_0^2 \)

\( = (5 \cdot 2^5 + 4 \cdot 2^4 - 2^3) - (5 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0^4 - 0^3) \)

\( = (5 \cdot 32 + 4 \cdot 16 - 8) - (0) \)

\( = (160 + 64 - 8) \)

\( = 224 - 8 \)

\( = 216 \)

Ответ: 216.