8. Объём конуса равен 160. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

Когда мы проводим сечение, параллельное основанию конуса, через середину высоты, мы получаем меньший конус, подобный исходному. Коэффициент подобия здесь равен 1:2 (отношение высоты меньшего конуса к высоте большего конуса).

Дано:

• Объем большего конуса $$V_{большего} = 160$$
• Высота меньшего конуса $$h_{малого} = \frac{1}{2} h_{большего}$$

Найти:

• Объем меньшего конуса $$V_{малого}$$

Решение:

1. Подобные тела:
• Меньший конус подобен большему, так как сечение параллельно основанию.
• Отношение высот подобных конусов равно отношению их радиусов: $$\frac{h_{малого}}{h_{большего}} = \frac{r_{малого}}{r_{большего}} = k$$
• В данном случае $$k = \frac{1}{2}$$
2. Соотношение объемов подобных тел:
• Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:
$$\frac{V_{малого}}{V_{большего}} = k^3$$
3. Подставим известные значения:
$$\frac{V_{малого}}{160} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$$
$$\frac{V_{малого}}{160} = \frac{1}{8}$$
4. Найдем объем меньшего конуса:
$$V_{малого} = 160 \cdot \frac{1}{8}$$
$$V_{малого} = 20$$

Ответ: 20