10. В цилиндре на расстоянии 8 см от его оси и параллельно ей проведено сечение, диагональ которого равна 13 см. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота равна 5см.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, высота цилиндра и хорда основания образуют прямоугольный треугольник.

Высота цилиндра \( h = 5 \) см, диагональ сечения \( d = 13 \) см.

Найдем длину хорды основания \( c \) по теореме Пифагора:

\( c^2 + h^2 = d^2 \)

\( c^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( c^2 + 25 = 169 \)

\( c^2 = 169 - 25 \)

\( c^2 = 144 \)

\( c = \sqrt{144} = 12 \) см.

Хорда основания равна 12 см. Расстояние от оси цилиндра до сечения равно 8 см. Это расстояние делит хорду пополам. То есть, половина хорды равна \( \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.

Радиус основания цилиндра \( r \), половина хорды \( \frac{c}{2} \) и расстояние от оси до сечения \( x \) образуют прямоугольный треугольник, где радиус является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

\( r^2 = x^2 + (\frac{c}{2})^2 \)

\( r^2 = 8^2 + 6^2 \)

\( r^2 = 64 + 36 \)

\( r^2 = 100 \)

\( r = \sqrt{100} = 10 \) см.

Ответ: 10 см