9. Шар, объем которого равен 42, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Когда шар вписан в цилиндр, это означает, что:

• Диаметр шара равен диаметру основания цилиндра.
• Диаметр шара равен высоте цилиндра.

Следовательно, высота цилиндра равна диаметру его основания.

Дано:

• Объем шара $$V_{шара} = 42$$

Найти:

• Объем цилиндра $$V_{цилиндра}$$

Решение:

1. Связь между шаром и цилиндром:
• Пусть $$R$$ — радиус шара.
• Тогда диаметр шара $$d_{шара} = 2R$$
• Радиус основания цилиндра $$r_{цилиндра} = R$$
• Высота цилиндра $$h_{цилиндра} = d_{шара} = 2R$$
2. Объем шара:
• Формула объема шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$$
3. Объем цилиндра:
• Формула объема цилиндра: $$V_{цилиндра} = \pi r_{цилиндра}^2 h_{цилиндра}$$
• Подставим выражения для радиуса и высоты цилиндра через радиус шара:
$$V_{цилиндра} = \pi (R)^2 (2R)$$
$$V_{цилиндра} = 2 \pi R^3$$
4. Найдем соотношение объемов:
• Нам дан объем шара $$V_{шара} = 42$$
• Мы знаем, что $$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$$
• Выразим $$\pi R^3$$ из формулы объема шара:
$$\pi R^3 = \frac{3}{4} V_{шара}$$
$$\pi R^3 = \frac{3}{4} \cdot 42 = \frac{126}{4} = 31.5$$
5. Теперь найдем объем цилиндра, используя найденное значение $$\pi R^3$$:
$$V_{цилиндра} = 2 \pi R^3 = 2 \cdot 31.5 = 63$$

Ответ: 63