8. Определите число решений системы уравнений {x² + y² = 9, y = -x² + 3. Ответ обоснуйте.

Решение:

1. Подстановка: Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:
• x² + (-x² + 3)² = 9
2. Раскрытие скобок:
• x² + (x⁴ - 6x² + 9) = 9
3. Упрощение уравнения:
• x⁴ - 5x² + 9 = 9
• x⁴ - 5x² = 0
4. Разложение на множители: Вынесем x² за скобки:
• x²(x² - 5) = 0
5. Нахождение корней:
• x² = 0 => x = 0
• x² - 5 = 0 => x² = 5 => x = ±√5
6. Нахождение соответствующих значений y:
• Если x = 0, то y = -(0)² + 3 = 3. Решение (0, 3).
• Если x = √5, то y = -(√5)² + 3 = -5 + 3 = -2. Решение (√5, -2).
• Если x = -√5, то y = -(-√5)² + 3 = -5 + 3 = -2. Решение (-√5, -2).
7. Обоснование: Мы получили три различных пары (x, y), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Ответ: Система имеет 3 решения.