8. Определите число решений системы уравнений { x² + y² = 9, y = -x² + 3. Ответ обоснуйте.

Решение:

Подставим второе уравнение в первое:

1. x² + (-x² + 3)² = 9
2. x² + (x⁴ - 6x² + 9) = 9
3. x⁴ - 5x² = 0
4. x²(x² - 5) = 0

Отсюда получаем:

• x² = 0 => x = 0
• x² - 5 = 0 => x² = 5 => x = ±√5

Теперь найдем соответствующие значения y:

• Если x = 0, то y = -(0)² + 3 = 3. Получаем точку (0, 3).
• Если x = √5, то y = -(√5)² + 3 = -5 + 3 = -2. Получаем точку (√5, -2).
• Если x = -√5, то y = -(-√5)² + 3 = -5 + 3 = -2. Получаем точку (-√5, -2).

Система имеет три решения: (0, 3), (√5, -2), (-√5, -2).

Обоснование:

Геометрически система представляет собой пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом 3 (x² + y² = 9) и параболы y = -x² + 3, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 3).

Ответ: 3 решения.