9. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.

Решение:

Пусть первоначальная масса раствора была m₁ (г), а первоначальная концентрация соли была c₁ (%).

Масса соли = 40 г.

1. Первоначальная концентрация (c₁):

• c₁ = (Масса соли / Масса раствора₁) * 100%
• c₁ = (40 / m₁) * 100%

2. Новая масса раствора (m₂):

• m₂ = m₁ + 200 г (добавили воду)

3. Новая концентрация (c₂):

• c₂ = (Масса соли / Масса раствора₂) * 100%
• c₂ = (40 / (m₁ + 200)) * 100%

4. Связь между концентрациями:

• По условию, новая концентрация уменьшилась на 10%, то есть c₂ = c₁ - 10% (абсолютных процентов, а не относительных). Это означает, что c₂ = c₁ - 0.1 * c₁ = 0.9 * c₁.
• (40 / (m₁ + 200)) * 100% = 0.9 * (40 / m₁) * 100%
• 40 / (m₁ + 200) = 0.9 * (40 / m₁)
• 1 / (m₁ + 200) = 0.9 / m₁
• m₁ = 0.9 * (m₁ + 200)
• m₁ = 0.9m₁ + 180
• m₁ - 0.9m₁ = 180
• 0.1m₁ = 180
• m₁ = 1800 г

5. Найдем первоначальную концентрацию (c₁):

• c₁ = (40 / 1800) * 100%
• c₁ = (4 / 180) * 100%
• c₁ = (1 / 45) * 100%
• c₁ ≈ 2,22%

Проверка:

• Новая масса раствора = 1800 + 200 = 2000 г.
• Новая концентрация = (40 / 2000) * 100% = (4 / 200) * 100% = (1 / 50) * 100% = 2%.
• Разница в концентрации = 2.22% - 2% = 0.22%.

Примечание: Если под "уменьшилась на 10%" подразумевается относительное уменьшение (т.е. новая концентрация стала 90% от старой), то решение будет таким:

c₂ = c₁ * (1 - 0.1) = 0.9 * c₁

(40 / (m₁ + 200)) = 0.9 * (40 / m₁)

1 / (m₁ + 200) = 0.9 / m₁

m₁ = 0.9 * (m₁ + 200)

m₁ = 0.9m₁ + 180

0.1m₁ = 180

m₁ = 1800 г

c₁ = (40 / 1800) * 100% = 2.22%

Если же имелось в виду, что новая концентрация стала на 10 процентных пунктов меньше, то:

c₂ = c₁ - 10

(40 / (m₁ + 200)) * 100 = (40 / m₁) * 100 - 10

4000 / (m₁ + 200) = 4000 / m₁ - 10

400 / (m₁ + 200) = 400 / m₁ - 1

400m₁ = 400(m₁ + 200) - m₁(m₁ + 200)

400m₁ = 400m₁ + 80000 - m₁² - 200m₁

m₁² + 200m₁ - 80000 = 0

D = 200² - 4 * 1 * (-80000) = 40000 + 320000 = 360000

√D = 600

m₁ = (-200 + 600) / 2 = 400 / 2 = 200 г

c₁ = (40 / 200) * 100% = 20%

Проверка: m₂ = 200 + 200 = 400 г. c₂ = (40 / 400) * 100% = 10%. Разница 20% - 10% = 10%.

Ответ: 20%