9. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.

Решение:

1. Обозначения:
• Пусть m_соли = 40 г — масса соли.
• Пусть m_воды1 — первоначальная масса воды.
• Пусть m_{раствора1} = m_соли + m_воды1 = 40 + m_воды1 — первоначальная масса раствора.
• Пусть C₁ — первоначальная концентрация соли (в долях).
• m_воды2 = 200 г — добавленная вода.
• m_{раствора2} = m_{раствора1} + m_воды2 = 40 + m_воды1 + 200 — конечная масса раствора.
• C₂ — конечная концентрация соли (в долях).
2. Уравнения:
• C₁ = m_соли / m_{раствора1} = 40 / (40 + m_воды1)
• C₂ = m_соли / m_{раствора2} = 40 / (40 + m_воды1 + 200)
• По условию, концентрация уменьшилась на 10% (или на 0,1 в долях): C₂ = C₁ - 0,1.
3. Подстановка и решение:
• 40 / (240 + m_воды1) = 40 / (40 + m_воды1) - 0,1
• Перенесем дробь с m_воды1 вправо, а 0,1 влево:
• 0,1 = 40 / (40 + m_воды1) - 40 / (240 + m_воды1)
• Приведем к общему знаменателю:
• 0,1 = [40 * (240 + m_воды1) - 40 * (40 + m_воды1)] / [(40 + m_воды1) * (240 + m_воды1)]
• 0,1 = [9600 + 40m_воды1 - 1600 - 40m_воды1] / [9600 + 40m_воды1 + 240m_воды1 + m_воды1²]
• 0,1 = 8000 / [m_воды1² + 280m_воды1 + 9600]
• 0,1 * (m_воды1² + 280m_воды1 + 9600) = 8000
• 0,1m_воды1² + 28m_воды1 + 960 = 8000
• 0,1m_воды1² + 28m_воды1 - 7040 = 0
• Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
• m_воды1² + 280m_воды1 - 70400 = 0
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 280² - 4 * 1 * (-70400) = 78400 + 281600 = 360000. √D = 600.
• m_воды1 = (-280 ± 600) / 2.
• Так как масса воды не может быть отрицательной, берем положительный корень:
• m_воды1 = (-280 + 600) / 2 = 320 / 2 = 160 г.
4. Нахождение первоначальной концентрации:
• m_{раствора1} = 40 + 160 = 200 г.
• C₁ = 40 / 200 = 0,2 (или 20%).
5. Проверка:
• m_{раствора2} = 200 + 200 = 400 г.
• C₂ = 40 / 400 = 0,1 (или 10%).
• Разница концентраций: 20% - 10% = 10%. Условие выполняется.

Ответ: 20%