8. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. y={ 6x-x², если x≥ -1, -х-8, если x < -1

Решение:

График состоит из двух частей:

1. Парабола \( y = 6x - x^2 \) при \( x ≥ -1 \).
   Это парабола ветвями вниз. Вершина находится в точке \( x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \). \( y_v = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9 \). Вершина: \( (3, 9) \).
   При \( x = -1 \): \( y = 6(-1) - (-1)^2 = -6 - 1 = -7 \). Точка \( (-1, -7) \).
   При \( x = 0 \): \( y = 0 \). Точка \( (0, 0) \).
2. Прямая \( y = -x - 8 \) при \( x < -1 \).
   При \( x = -1 \): \( y = -(-1) - 8 = 1 - 8 = -7 \). Точка \( (-1, -7) \) (не включается).
   При \( x = -2 \): \( y = -(-2) - 8 = 2 - 8 = -6 \). Точка \( (-2, -6) \).

График функции:

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда она пересекает:

• Параболу \( y = 6x - x^2 \) в двух точках (это происходит при \( m < 9 \) и \( m > -7 \)).
• Прямую \( y = -x - 8 \) в одной точке (это происходит при \( m < -7 \)).

Для того чтобы было ровно две общие точки, прямая \( y = m \) должна пересекать параболу в двух точках, при этом не пересекая прямую \( y = -x - 8 \) или пересекая её ниже точки \( (-1, -7) \) (которая не включена в график параболы). Учитывая, что вершина параболы находится в \( (3, 9) \), а начало второй части графика - точка \( (-1, -7) \) (исключая её), прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки, когда \( m < 9 \) и \( m \) меньше значения \( y \) в точке \( x=-1 \) для параболы, то есть \( m < -7 \).

Ответ: \( m < -7 \).