8. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение: а) $x^4-8x^2+a=0$; б) $x^4+ax^2+25=0$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение: а) $x^4-8x^2+a=0$; б) $x^4+ax^2+25=0$?$ Фото задания

8. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение: а) $x^4-8x^2+a=0$; б) $x^4+ax^2+25=0$?

Accepted Answer

а) Обозначим $y=x^2$, тогда $y\ge 0$, и уравнение принимает вид $y^2-8y+a=0$. Выражение $y^2-8y+a=(y-4)^2+a-16$ при $y\ge0$ достигает минимума при $y=4$. Корней нет, когда минимум положителен: $a-16>0$.

б) Пусть $y=x^2\ge0$. Получаем $y^2+ay+25=0$. Если $a\ge0$, выражение положительно при всех $y\ge0$. Если $a<0$, минимум достигается при $y=-a/2>0$ и равен $25-a^2/4$. Корней нет, когда этот минимум положителен, то есть $-10<a<0$. Вместе с случаем $a\ge0$ получаем $a>-10$.

Ответ: а) $a>16$; б) $a>-10$.

8. При каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение: а) \(x^4-8x^2+a=0\); б) \(x^4+ax^2+25=0\)?

Ответ: