II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через $t$, а другую — через $\frac1t$: $\frac{x^2-3}{x}+\frac{x}{x^2-3}=2\frac12$.

Question

Вопрос: $Фото задания: II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через $t$, а…$ Фото задания

II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через $t$, а другую — через $\frac1t$: $\frac{x^2-3}{x}+\frac{x}{x^2-3}=2\frac12$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x\ne0$, $x^2\ne3$. Обозначим $t=\frac{x^2-3}{x}$; тогда вторая дробь равна $\frac1t$. Получаем $t+\frac1t=\frac52$.

Умножая на $2t$, имеем $2t^2-5t+2=0$, откуда $t=2$ или $t=\frac12$.

Если $t=2$, то $\frac{x^2-3}{x}=2$, значит $x^2-2x-3=0$, откуда $x=3,-1$.

Если $t=\frac12$, то $2(x^2-3)=x$, значит $2x^2-x-6=0$, откуда $x=2,-\frac32$. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=-\frac32,-1,2,3$.

II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через \(t\), а другую — через \(\frac1t\): \(\frac{x^2-3}{x}+\frac{x}{x^2-3}=2\frac12\).

Ответ: