II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: \(\frac{x^2+8}{x}-\frac{12x}{x^2+8}=4\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\). Введём переменную \(t=\frac{x^2+8}{x}\). Тогда \(\frac{x}{x^2+8}=\frac1t\), и уравнение принимает вид \(t-\frac{12}{t}=4\).

Умножим на \(t\): \(t^2-4t-12=0\), откуда \(t=6\) или \(t=-2\).

При \(t=6\): \(x+\frac8x=6\), поэтому \(x^2-6x+8=0\), откуда \(x=2,4\).

При \(t=-2\): \(x+\frac8x=-2\), поэтому \(x^2+2x+8=0\). Дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

Ответ: \(x=2,4\).