II. С–15. Дробные рациональные уравнения. 3. Найдите корни уравнения: а) \(\frac{2}{x-4}-\frac{5}{x+3}=\frac{11}{x^2-x-12}+1\); б) \(\frac{x}{x+2}+\frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}=0\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: \(x\ne4,-3\), так как \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\). Умножим уравнение на \((x-4)(x+3)\):

\(2(x+3)-5(x-4)=11+(x-4)(x+3)\).

После раскрытия скобок: \(-3x+26=x^2-x-1\), откуда \(x^2+2x-27=0\). Следовательно, \(x=-1\pm2\sqrt7\); оба корня допустимы.

б) Область допустимых значений: \(x\ne-2,-5\). Умножим на \((x+2)(x+5)\):

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-(7-x)=0\).

Получаем \(2x^2+9x-5=0=(2x-1)(x+5)\). Значение \(-5\) исключается, поэтому остаётся \(x=\frac12\).

Ответ: а) \(x=-1\pm2\sqrt7\); б) \(x=\frac12\).