8. Решите систему уравнений \(x + y + z = 4,\) \(x + y - z = 2,\) \(2x - y + z = 1.\)

Решение:

Сложим первое и второе уравнения:

\((x + y + z) + (x + y - z) = 4 + 2\)
\(2x + 2y = 6\)
\(x + y = 3\)

Теперь сложим второе и третье уравнения:

\((x + y - z) + (2x - y + z) = 2 + 1\)
\(3x = 3\)
\(x = 1\).

Подставим \(x = 1\) в уравнение \(x + y = 3\):

\(1 + y = 3\)
\(y = 2\).

Подставим \(x = 1\) и \(y = 2\) в первое уравнение системы:

\(1 + 2 + z = 4\)
\(3 + z = 4\)
\(z = 1\).

Проверим найденные значения во всех трёх уравнениях:

1. \(1 + 2 + 1 = 4\) (верно)
2. \(1 + 2 - 1 = 2\) (верно)
3. \(2(1) - 2 + 1 = 2 - 2 + 1 = 1\) (верно)

Ответ: \(x = 1, y = 2, z = 1\).