6. Разложите на множители выражение \((a - 2b)(a + b)^2 + (a - b)^3 + 3b^3\).

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\((a - 2b)(a^2 + 2ab + b^2) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + 3b^3\)

\(= a(a^2 + 2ab + b^2) - 2b(a^2 + 2ab + b^2) + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 3b^3\)

\(= a^3 + 2a^2b + ab^2 - 2a^2b - 4ab^2 - 2b^3 + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 3b^3\)

Сгруппируем подобные члены:

\((a^3 + a^3) + (2a^2b - 2a^2b - 3a^2b) + (ab^2 - 4ab^2 + 3ab^2) + (-2b^3 - b^3 + 3b^3)\)

\(= 2a^3 - 3a^2b + 0ab^2 + 0b^3 = 2a^3 - 3a^2b\)

Вынесем общий множитель \(a^2\):

\(a^2(2a - 3b)\)

Ответ: \(a^2(2a - 3b)\).