7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \(3x-y=2\) и \(2y-x=1\) и параллельной графику уравнения \(3(x-y+1)=x-2(y+5)\)

Решение:

Задача состоит из трех частей:

1. Найти точку пересечения прямых olimits [ 3x-y=2 \] и olimits [ 2y-x=1 \].
2. Найти уравнение прямой, параллельной графику olimits [ 3(x-y+1)=x-2(y+5) \].
3. Записать уравнение прямой, проходящей через найденную точку и имеющей найденный угловой коэффициент.

Шаг 1: Находим точку пересечения прямых

Имеем систему уравнений:

1. olimits [ 3x-y=2 \]
2. olimits [ -x+2y=1 \]

Выразим y из первого уравнения: olimits [ y = 3x - 2 \].

Подставим это выражение во второе уравнение:

1. olimits [ -x + 2(3x - 2) = 1 \]
2. olimits [ -x + 6x - 4 = 1 \]
3. olimits [ 5x = 5 \]
4. olimits [ x = 1 \]

Теперь найдем y, подставив x = 1 в olimits [ y = 3x - 2 \]:

1. olimits [ y = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 \]

Точка пересечения прямых: olimits [ (1, 1) \].

Шаг 2: Находим угловой коэффициент параллельной прямой

Упростим уравнение olimits [ 3(x-y+1)=x-2(y+5) \] до вида olimits [ y = kx + b \], чтобы найти угловой коэффициент k.

1. olimits [ 3x - 3y + 3 = x - 2y - 10 \]
2. Перенесем все члены с y влево, остальные — вправо: olimits [ -3y + 2y = x - 3x - 10 - 3 \]
3. olimits [ -y = -2x - 13 \]
4. Умножим на -1: olimits [ y = 2x + 13 \]

Угловой коэффициент этой прямой равен 2. Параллельная прямая будет иметь тот же угловой коэффициент, то есть k = 2.

Шаг 3: Записываем уравнение искомой прямой

Уравнение прямой имеет вид olimits [ y = kx + b \]. Мы знаем, что olimits [ k = 2 \] и прямая проходит через точку olimits [ (1, 1) \]. Подставим эти значения, чтобы найти b:

1. olimits [ 1 = 2(1) + b \]
2. olimits [ 1 = 2 + b \]
3. olimits [ b = 1 - 2 = -1 \]

Таким образом, уравнение искомой прямой: olimits [ y = 2x - 1 \].

Можно также записать его в виде olimits [ 2x - y - 1 = 0 \].

Ответ: Уравнение прямой: olimits [ y = 2x - 1 \] (или olimits [ 2x - y - 1 = 0 \]).