8. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Краткое пояснение:

• Общее время в пути складывается из времени движения по течению, времени стоянки и времени движения против течения. Скорость теплохода по течению равна сумме его скорости в неподвижной воде и скорости течения, а против течения - разности.

Пошаговое решение:

1. Пусть \( v \) - скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
2. Скорость теплохода по течению: \( v + 5 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v - 5 \) км/ч.
4. Расстояние в одну сторону: 80 км.
5. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{80}{v+5} \) часов.
6. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{80}{v-5} \) часов.
7. Время стоянки: 23 часа.
8. Общее время в пути: 35 часов.
9. Уравнение: \( t_1 + t_{стоянки} + t_2 = 35 \).
10. \( \frac{80}{v+5} + 23 + \frac{80}{v-5} = 35 \).
11. Вычтем время стоянки из общего времени: \( \frac{80}{v+5} + \frac{80}{v-5} = 35 - 23 \).
12. \( \frac{80}{v+5} + \frac{80}{v-5} = 12 \).
13. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{80(v-5) + 80(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 12 \).
14. \( \frac{80v - 400 + 80v + 400}{v^2 - 25} = 12 \).
15. \( \frac{160v}{v^2 - 25} = 12 \).
16. \( 160v = 12(v^2 - 25) \).
17. \( 160v = 12v^2 - 300 \).
18. Перенесем все в одну сторону: \( 12v^2 - 160v - 300 = 0 \).
19. Разделим все на 4 для упрощения: \( 3v^2 - 40v - 75 = 0 \).
20. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500 \).
21. \( \sqrt{D} = \sqrt{2500} = 50 \).
22. Найдем корни: \( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 50}{2 · 3} = \frac{90}{6} = 15 \).
23. \( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - 50}{2 · 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \).
24. Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем \( v = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч