8. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство:

• 1) x² + 6x - 51 > 0. Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения x² + 6x - 51 = 0. Дискриминант D = 6² - 4(1)(-51) = 36 + 204 = 240. √240 ≈ 15.5. Корни: x = (-6 ± 15.5)/2. Примерно x₁ = -10.75, x₂ = 4.75. Так как парабола y = x² + 6x - 51 имеет ветви вверх, то неравенство > 0 выполняется вне корней, то есть x < -10.75 или x > 4.75. Решения есть.
• 2) x² + 6x - 51 < 0. Аналогично первому, это неравенство выполняется между корнями, то есть -10.75 < x < 4.75. Решения есть.
• 3) x² + 6x + 51 > 0. Найдем корни уравнения x² + 6x + 51 = 0. Дискриминант D = 6² - 4(1)(51) = 36 - 204 = -168. Так как D < 0 и коэффициент при x² (1) положительный, парабола y = x² + 6x + 51 всегда находится выше оси X. Следовательно, неравенство x² + 6x + 51 > 0 выполняется для всех действительных значений x. Решения есть.
• 4) x² + 6x + 51 < 0. Как показано в пункте 3, функция y = x² + 6x + 51 всегда положительна. Поэтому неравенство x² + 6x + 51 < 0 не имеет решений.

Ответ: 4) x² + 6x + 51 < 0