8. В окружности с центром Z проведены диаметры HF и NR. Угол HZR равен 16°. Найдите угол HFN. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Так как HF и NR — диаметры, проходящие через центр Z, то треугольник HZF является равнобедренным (ZH = ZF = радиус).
• Угол HZF является вертикальным к углу NZR.
• Угол HZR = 16°. Так как HF и NR — диаметры, то углы HZR и FZN являются вертикальными. Следовательно, ∠FZN = ∠HZR = 16°.
• Углы HZF и RZE также являются вертикальными.
• Сумма углов, образующих развернутый угол, равна 180°. Угол HZR и угол HZF составляют развернутый угол, если R, Z, H лежат на одной прямой, но это не так.
• Угол HZF и угол FZN составляют развернутый угол, если H, Z, N лежат на одной прямой, что верно, так как NR - диаметр.
• Значит, ∠HZF + ∠FZN = 180°.
• ∠HZF = 180° - ∠FZN = 180° - 16° = 164°.
• В равнобедренном треугольнике HZF, углы при основании HF равны: ∠ZHF = ∠ZFH.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• ∠ZHF + ∠ZFH + ∠HZF = 180°.
• 2 * ∠ZFH + 164° = 180°.
• 2 * ∠ZFH = 180° - 164° = 16°.
• ∠ZFH = 16° / 2 = 8°.
• Угол HFN является частью угла ZFH.
• Угол HFN — это вписанный угол, опирающийся на дугу HN.
• Угол HZN — центральный угол, опирающийся на дугу HN.
• Так как NR — диаметр, то угол HRN — вписанный, опирающийся на полуокружность, т.е. ∠HRN = 90°.
• В треугольнике HZR, ZH = ZR (радиусы), поэтому он равнобедренный. ∠ZHR = ∠ZRH = (180° - 16°)/2 = 164°/2 = 82°.
• Угол HFN — вписанный угол, опирающийся на дугу HN. Центральный угол HZN опирается на ту же дугу.
• Угол HZR = 16°. Угол HZN = 180° - 16° = 164°.
• Тогда вписанный угол HFN = ∠HZN / 2 = 164° / 2 = 82°.
• Проверим: В треугольнике HZF, ZH=ZF (радиусы). Угол HZF = 180-16 = 164. Углы при основании равны (180-164)/2 = 8.
• Угол HFN - это вписанный угол. Он опирается на дугу HN. Центральный угол HZN опирается на ту же дугу.
• Угол HZR = 16. Угол HZN = 180 - 16 = 164.
• Значит, вписанный угол HFN = 164/2 = 82.

Ответ: 82