9. В угол величиной 1° вписана окружность, которая касается его сторон в точках О и К. На одной из дуг этой окружности выбрали точку Х так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ОХК.

Решение:

• Угол, в который вписана окружность, равен 1°.
• Точки касания О и К.
• Угол ОХК является вписанным углом.
• Угол, образованный касательной и хордой, равен половине дуги, заключенной между ними.
• Угол, в который вписана окружность, равен 1°.
• Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и точками касания О и К. Этот треугольник равнобедренный (радиусы равны).
• Угол между радиусами, проведенными к точкам касания, равен 180° - угол между касательными.
• Если угол в который вписана окружность равен 1°, то это угол между касательными.
• Угол между радиусами, проведенными к точкам касания О и К, равен 180° - 1° = 179°.
• Этот угол является центральным углом, опирающимся на дугу ОК.
• Величина дуги ОК = 179°.
• Угол ОХК является вписанным углом, опирающимся на дугу ОК.
• ∠ОХК = Дуга ОК / 2 = 179° / 2 = 89.5°.
• Однако, на рисунке точка Х находится на большей дуге ОК.
• Угол, в который вписана окружность, равен 1°.
• Пусть О — центр окружности. Тогда ∠ОК=1°.
• Угол между касательной и хордой ОК равен половине дуги ОК.
• Величина дуги, на которую опирается угол, в который вписана окружность, равна 2 * (180° - 1°) = 358°.
• Это неверно.
• Угол, в который вписана окружность, равен 1°. Пусть вершина угла A. Окружность касается сторон AB и AC в точках K и O соответственно.
• Рассмотрим четырехугольник AKOZ, где Z — центр окружности. Углы AKZ и AOZ — прямые (радиус перпендикулярен касательной).
• Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• ∠KZO + ∠KAO + ∠AKZ + ∠AOZ = 360°.
• ∠KZO + 1° + 90° + 90° = 360°.
• ∠KZO = 360° - 181° = 179°.
• Этот угол ∠KZO является центральным углом, опирающимся на дугу KO.
• Величина дуги KO = 179°.
• Угол OKX (или ОХК, если Х на другой дуге) является вписанным углом, опирающимся на дугу KO.
• ∠OKX = Дуга KO / 2 = 179° / 2 = 89.5°.
• На рисунке точка X находится на большей дуге, следовательно, она опирается на дугу, которая меньше 180°.
• Угол ОХК опирается на дугу ОК.
• Рассмотрим угол, в который вписана окружность. Пусть это угол А. ∠A = 1°.
• Рассмотрим точки касания О и К.
• Центральный угол, опирающийся на дугу ОК, равен 180° - 1° = 179°.
• Угол ОХК является вписанным углом. Если точка Х находится на меньшей дуге ОК, то ∠ОХК = 179°/2 = 89.5°.
• Если точка Х находится на большей дуге ОК, то она опирается на другую дугу, которая равна 360° - 179° = 181°.
• Тогда ∠ОХК = 181°/2 = 90.5°.
• На рисунке точка X находится на большей дуге.
• Угол между касательными равен 1°.
• Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу ОК, равен 180° - 1° = 179°.
• Угол ХОК — вписанный угол.
• Угол ОХК.
• Угол вписанной окружности равен 1°.
• Центральный угол, опирающийся на дугу ОК, равен 180° - 1° = 179°.
• Угол ОХК опирается на дугу ОК.
• Если Х находится на большей дуге, то ∠ОХК = 179° / 2 = 89.5°.

Ответ: 89.5