Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, \( \angle A = 60^{\circ} \), AM — биссектриса \( \angle A \), \( AM \perp DM \), \( AB = 4 \).

  1. Так как AM — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle BAM = \angle MAD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
  2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, \( AD \parallel BC \) и \( AB \parallel DC \).
  3. Так как \( AB \parallel DM \) (по условию \( AM \perp DM \), значит \( AB \perp AM \) и \( DC \perp DM \)), то \( \angle AMD = 90^{\circ} \) (как внутренние накрест лежащие при параллельных \( AD \parallel BC \) и секущей AM). Это противоречит условию \( AM \perp DM \).
  4. Рассмотрим условие \( AM \perp DM \). Это означает, что \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  5. Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle ABM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне).
  6. Углы \( \angle ABM \) и \( \angle ABC \) — это один и тот же угол.
  7. В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 120^{\circ} \) (это не может быть, так как сумма углов треугольника 180).
  8. Пересмотрим условие. \( \angle A = 60^{\circ} \). AM — биссектриса \( \angle A \). \( AB=4 \). \( AM \perp DM \).
  9. Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle DAM = \angle AMB = 30^{\circ} \) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных \( AD \parallel BC \) и секущей AM).
  10. В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \). Значит, \( \triangle ABM \) — равнобедренный с \( AB = BM = 4 \).
  11. Так как ABCD — параллелограмм, \( BC = AD \). \( BC = BM + MC \). \( BC = 4 + MC \).
  12. \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  13. В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \). \( \angle ADM = 180^{\circ} - \angle ADC \).
  14. По условию \( AM \perp DM \), значит \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  15. В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle ADM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
  16. Так как \( AB ∥ DC \) и \( AB=4 \), то \( DC=4 \).
  17. В \( \triangle DMC \): \( \angle DMC = 180^{\circ} - \angle AMD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
  18. \( \angle MDC = 180^{\circ} - \angle ADM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Это противоречит тому, что \( \triangle DMC \) прямоугольный.
  19. Пересмотрим условие \( AM ⊥ DM \).
  20. Возможно, \( AB \parallel DC \) и \( AD \parallel BC \). \( \angle A = 60^{\circ} \). AM — биссектриса, \( \angle BAM = \angle MAD = 30^{\circ} \). \( AB = 4 \). \( BM = AB = 4 \) (из \( \triangle ABM \), где \( \angle AMB = \angle MAD = 30^{\circ} \)).
  21. \( BC = AD \). \( BC = BM + MC = 4 + MC \).
  22. \( AM \perp DM \).
  23. Рассмотрим \( \triangle ADM \). \( \angle MAD = 30^{\circ} \). \( \angle ADM = ? \). \( \angle AMD = ? \).
  24. Если \( AM \perp DM \), то \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  25. В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 120^{\circ} \) (углы параллелограмма), \( \angle AMB = 180 - 120 - 30 = 30^{\circ} \). \( AB=BM=4 \).
  26. \( BC = 4 + MC \). \( AD = BC = 4+MC \).
  27. В \( \triangle ADM \): \( \angle MAD = 30^{\circ} \). \( \angle AMD = 90^{\circ} \) (по условию \( AM \perp DM \)). \( \angle ADM = 180 - 90 - 30 = 60^{\circ} \).
  28. \( \angle ADC = \angle ADM + \angle MDC \).
  29. \( \angle ADC = 180 - \angle A = 180 - 60 = 120^{\circ} \).
  30. \( 120^{\circ} = 60^{\circ} + \angle MDC \). \( \angle MDC = 60^{\circ} \).
  31. В \( \triangle ADM \): \( \angle MAD = 30^{\circ} \), \( \angle ADM = 60^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  32. По теореме синусов: \( \frac{AD}{\sin 90^{\circ}} = \frac{AM}{\sin 60^{\circ}} = \frac{DM}{\sin 30^{\circ}} \).
  33. \( AD = \frac{AM}{\sin 60^{\circ}} = \frac{AM}{\sqrt{3}/2} = \frac{2AM}{\sqrt{3}} \).
  34. \( DM = \frac{DM}{\sin 30^{\circ}} \). \( \frac{AD}{1} = \frac{DM}{1/2} \implies AD = 2 DM \).
  35. В \( \triangle ADM \) катет DM лежит против угла 30, значит DM = AD/2. Это верно.
  36. В \( \triangle ABM \): \( AB=4 \), \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 30^{\circ} \). \( AM = AB \) (неверно, \( AB=BM \)). \( AB = 4 \), \( BM = 4 \). \( AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} \) (неверно, это в прямоугольном).
  37. В \( \triangle ABM \), \( AB=4 \), \( \angle BAM=30, \angle AMB=30 \). \( ​AM = ​ ​ \). \( ​ ​\sin 30^{\circ} = \frac{BM}{AM} \) (неверно, \( \angle ABM = 120^{\circ} \)).
  38. Из \( \triangle ABM \): \( \frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BM}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AM}{\sin 120^{\circ}} \). \( AB = BM = 4 \). \( AM = \frac{4 ​\sin 120^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{4 ​\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{3} \).
  39. В \( \triangle ADM \): \( AM = 4\sqrt{3} \), \( \angle MAD = 30^{\circ} \), \( \angle AMD = 90^{\circ} \).
  40. \( DM = AM \tan 30^{\circ} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 \).
  41. \( AD = \frac{AM}{\cos 30^{\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 8 \).
  42. \( BC = AD = 8 \).
  43. \( AB = 4 \).
  44. Периметр параллелограмма = 2 * (AB + BC) = 2 * (4 + 8) = 2 * 12 = 24.

Ответ: 24