8. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Отрезок AE пересекает диагональ BD в точке F (рис. 8.7). Найдите отношение DF : FB.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{v}\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{u}\), а точку A примем за начало координат. Тогда \(B=\mathbf{v}\), \(D=\mathbf{u}\), \(C=\mathbf{u}+\mathbf{v}\).

Поскольку E — середина CD, \(E=\mathbf{u}+\frac{1}{2}\mathbf{v}\). Точка F на AE имеет вид \(s(\mathbf{u}+\frac{1}{2}\mathbf{v})\), а на DB — \((1-t)\mathbf{u}+t\mathbf{v}\), где \(t=\frac{DF}{DB}\).

Приравнивая коэффициенты при \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\), получаем \(s=1-t\) и \(\frac{s}{2}=t\). Значит, \(t=\frac{1}{3}\), поэтому \(DF:FB=t:(1-t)=1:2\).

Ответ: \(DF:FB=1:2\).