Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. В правильной шестиугольной призме \(ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), все рёбра которой равны 2, найдите расстояние от точки…Фото задания

Ответ:

  1. Введём координаты основания правильного шестиугольника со стороной 2: \(A=(2,0,0)\), \(B=(1,\sqrt3,0)\), \(C=(-1,\sqrt3,0)\), \(D=(-2,0,0)\), \(E=(-1,-\sqrt3,0)\), \(F=(1,-\sqrt3,0)\). Высота призмы равна 2, поэтому \(D_1=(-2,0,2)\), \(F_1=(1,-\sqrt3,2)\).
  2. Направляющий вектор прямой \(BD_1\): \(\vec v=D_1-B=(-3,-\sqrt3,2)\). Вектор \(\vec w=F_1-B=(0,-2\sqrt3,2)\).
  3. Расстояние от точки до прямой вычислим по формуле \(d=\dfrac{|\vec w\times\vec v|}{|\vec v|}\). Здесь \(|\vec w\times\vec v|^2=84\), а \(|\vec v|^2=22\).
  4. Следовательно, \(d=\sqrt{84/22}=\sqrt{42/11}=\dfrac{\sqrt{462}}{11}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{462}}{11}\).