8. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведена биссектриса AP. Найдите угол ABC, если угол APB равен 105°.

Поскольку AB — гипотенуза, \(\angle C=90^\circ\). Обозначим \(\angle ABC=x\); тогда \(\angle A=90^\circ-x\). Биссектриса AP делит угол A пополам, поэтому \(\angle BAP=(90^\circ-x)/2\).

В треугольнике ABP сумма углов равна \(180^\circ\):

\(x+105^\circ+(90^\circ-x)/2=180^\circ\).

Умножаем на 2 и упрощаем: \(2x+210^\circ+90^\circ-x=360^\circ\), откуда \(x=60^\circ\).

Ответ: 60°.