8. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) основание AC = 12 см, угол при вершине B = 120°. Найдите боковую сторону и площадь.

Обозначим боковую сторону через \(x\). По теореме косинусов для основания \(AC\):

\(12^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=2x^2+x^2=3x^2\).

Отсюда \(x^2=48\), значит, \(AB=BC=4\sqrt3\) см.

Площадь найдём по двум боковым сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12x^2\sin120^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\) см².

Ответ: боковая сторона — \(4\sqrt3\) см; площадь — \(12\sqrt3\) см².