8 В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD (AB || CD).
• Высота BH = 6.
• Большее основание AD = 18.
• [ \(\angle\) D = 45^\(\circ\) \][

Найти:

• Меньшее основание BC.

Решение:

1. Проведем высоту CH к основанию AD.
2. [ BH = CH = 6 \][
3. [ \(\angle\) D = 45^\(\circ\) \][
4. Рассмотрим прямоугольный [ \(\triangle\) CHD \][.
5. [ \(\text{tg}\)\(\angle D\) = \(\frac{CH}{HD}\) \][
6. [ \(\text{tg}\)\(45^\circ\) = \(\frac{6}{HD}\) \][
7. [ 1 = \(\frac{6}{HD}\) \][
8. [ HD = 6 \][
9. Так как трапеция равнобедренная, то [ AH = (AD - HD) / 2 \][ (ошибочное предположение, т.к. BH и CH - высоты, проведенные из вершин B и C к основанию AD. Нужно провести высоту из B к AD)
10. Проведем высоту BH к основанию AD.
11. [ \(\triangle\) ABH \][ - прямоугольный.
12. [ \(\angle\) BAH = \(\angle\) D = 45^\(\circ\) \][
13. [ \(\angle\) ABH = 90^\(\circ\) - 45^\(\circ\) = 45^\(\circ\) \][
14. [ \(\triangle\) ABH \][ - равнобедренный прямоугольный треугольник.
15. [ AH = BH = 6 \][
16. Проведем высоту CK к основанию AD.
17. [ BK = CH = 6 \][
18. [ AK = HD \][
19. [ BC = AD - AK - HD = 18 - 2 × 6 \][
20. [ BC = 18 - 12 = 6 \][
21. Меньшее основание BC = 6.

Ответ: 6