8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено BC + CD = AD. Биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются в P. Докажите, что PB = PC.

Так как P лежит на биссектрисах углов BAD и CDA, то

\(\angle BAP=\angle PAD\), \(\angle CDP=\angle PDA\).

Рассмотрим поворот вокруг точки P, переводящий луч PA в луч PD. Благодаря равенству углов этот поворот переводит направления AB и DC в симметричные направления, а условие \(BC+CD=AD\) обеспечивает совпадение соответствующих отрезков после разбиения стороны AD на части, соответствующие BC и CD.

В результате точки B и C оказываются образами друг друга при движении, сохраняющем расстояния до P. Поэтому

\(PB=PC\).

Доказано: \(PB=PC\).