8. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 12 раз?

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{бок} = 2\cdotrh \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Пусть \( S_{бок1} = 2\cdotr_1h_1 \) — начальная площадь боковой поверхности.

Пусть \( r_2 = 12r_1 \) — новый радиус (увеличили в 12 раз).

Пусть \( h_2 = \frac{h_1}{3} \) — новая высота (уменьшили в 3 раза).

Найдем новую площадь боковой поверхности \( S_{бок2} \):

\[ S_{бок2} = 2\cdotr_2h_2 = 2\cdot(12r_1)\cdot\cdot\frac{h_1}{3} \]\[ S_{бок2} = 2\cdotr_1h_1 \cdot \frac{12}{3} = 2\cdotr_1h_1 \cdot 4 = 4S_{бок1} \]

Чтобы найти, во сколько раз увеличится площадь, разделим новую площадь на начальную:

\[ \frac{S_{бок2}}{S_{бок1}} = \frac{4S_{бок1}}{S_{бок1}} = 4 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности увеличится в 4 раза.