8. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 12 раз?

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле \( S_{бок} = 2 \pi r h \).

Пусть \( S_1 \) – начальная площадь боковой поверхности, \( r_1 \) – начальный радиус, \( h_1 \) – начальная высота.

\( S_1 = 2 \pi r_1 h_1 \).

Пусть \( S_2 \) – новая площадь боковой поверхности, \( r_2 \) – новый радиус, \( h_2 \) – новая высота.

По условию:

• высота уменьшилась в 3 раза: \( h_2 = \frac{h_1}{3} \)
• радиус увеличился в 12 раз: \( r_2 = 12 r_1 \)

Новая площадь боковой поверхности:

\[ S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi (12 r_1) (\frac{h_1}{3}) = 2 \pi \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot r_1 h_1 = 2 \pi \cdot 4 \cdot r_1 h_1 = 8 \pi r_1 h_1 \]

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, разделим новую площадь на начальную:

\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{8 \pi r_1 h_1}{2 \pi r_1 h_1} = 4 \]

Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 4 раза.