9. Образующая конуса равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Вычислить площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \cdotr^2 + \cdotrl \), где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая конуса.

Дано:

• Образующая \( l = 9 \) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания \( \cdot = 60^\cdot \).

Найти:

• \( S_{полн} \)

Вычисление:

1. Найдем радиус основания \( r \). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, высотой и образующей, угол между образующей и радиусом равен \( 90^\cdot - 60^\cdot = 30^\cdot \). Или, если угол между образующей и плоскостью основания 60°, то угол между образующей и радиусом основания прямой, то в прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом и высотой, угол между образующей и радиусом будет \( 90^\cdot - 60^\cdot = 30^\cdot \). Значит, радиус \( r \) лежит напротив угла 60°, а высота \( h \) напротив угла 30°.
\[ r = l \cdot \cdot \text{sin}(60^\cdot) = 9 \cdot \frac{\cdot3}{2} = \frac{9\cdot3}{2} \] \( \text{см} \)
2. Найдем площадь основания: \( S_{осн} = \cdotr^2 = \cdot \cdot \big(\frac{9\cdot3}{2}\big)^2 = \cdot \cdot \frac{81 \cdot 3}{4} = \frac{243\cdot}{4} \) см².
3. Найдем площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \cdotrl = \cdot \cdot \frac{9\cdot3}{2} \cdot 9 = \frac{81\cdot3}{2} \) см².
4. Найдем площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{243\cdot}{4} + \frac{81\cdot3}{2} = \frac{243\cdot}{4} + \frac{162\cdot3}{4} = \frac{243\cdot + 162\cdot3}{4} \) см².

Ответ: \( \frac{243\cdot + 162\cdot3}{4} \) см².