81. Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{AC}\), если \(A(1;4;-1)\), \(B(4;7;0)\), \(C(-2;1;-3)\).

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{BA}=A-B=(-3;-3;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=C-A=(-3;-3;-2)\).

Их скалярное произведение: \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=9+9+2=20\).

Длины: \(|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{19}\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{22}\). Поэтому

\(\cos\varphi=\frac{20}{\sqrt{19}\sqrt{22}}=\frac{20}{\sqrt{418}}\), откуда \(\varphi=\arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)\approx 11.9^\circ\).

Ответ: \(\arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)\approx 11.9^\circ\).