83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(5;-3;2)\), \(B(9;-1;3)\), \(C(12;-5;-1)\) и \(D(8;-7;-2)\) является прямоугольником.

Найдём векторы сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(4;2;1)\), \(\overrightarrow{BC}=(3;-4;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;-2;-1)\), \(\overrightarrow{DA}=(-3;4;4)\).

Получаем \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\). Значит, противоположные стороны попарно параллельны, и \(ABCD\) — параллелограмм.

Проверим смежные стороны: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot3+2\cdot(-4)+1\cdot(-4)=12-8-4=0\). Следовательно, смежные стороны перпендикулярны.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Значит, \(ABCD\) — прямоугольник.