82. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, корни которого — натуральные числа n, 3n, а коэффициенты — натуральные числа n, 2n, 3n (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

При корнях \(n\) и \(3n\) трёхчлен можно записать как \(k(x-n)(x-3n)\). Его коэффициенты равны \(k\), \(-4kn\) и \(3kn^2\). Возьмём \(k=-\frac12\): тогда коэффициент при \(x\) равен \(2n\), а свободный член — \(-\frac32n^2\), поэтому это не соответствует требованию о коэффициентах \(n,2n,3n\).

В действительности условие невыполнимо: при корнях \(n\) и \(3n\) отношение коэффициентов определяется формулой Виета. Если старший коэффициент равен \(A\), коэффициент при \(x\) равен \(-4nA\), а свободный член — \(3n^2A\). При натуральных положительных коэффициентах коэффициент при \(x\) должен быть отрицательным, но среди \(n,2n,3n\) отрицательных чисел нет.

Ответ: при указанном требовании натуральных коэффициентов такого трёхчлена не существует; вероятно, в условии или его распознавании пропущен знак.