80. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени: а) −3y² + 3y + 11; б) 4b² − 9b + 7; в) x² − 7x + 11; г) 3y² − 12y + 12?

Квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители над действительными числами, если его дискриминант неотрицателен.

а) \(D=3^2-4\cdot(-3)\cdot11=141>0\), корни \(y_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{141}}{6}\). Поэтому \(-3y^2+3y+11=-3\left(y-\frac{3+\sqrt{141}}{6}\right)\left(y-\frac{3-\sqrt{141}}{6}\right)\).

б) \(D=(-9)^2-4\cdot4\cdot7=-31<0\). Над действительными числами разложить на линейные множители нельзя.

в) \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot11=5>0\), корни \(x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt5}{2}\). Значит, \(x^2-7x+11=\left(x-\frac{7+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{7-\sqrt5}{2}\right)\).

г) \(D=(-12)^2-4\cdot3\cdot12=0\). Тогда \(3y^2-12y+12=3(y-2)^2\).

Ответ: а), в), г) — можно; б) — нельзя (над действительными числами).