820. Даны вершины треугольника A(−1; −2; 4), B(−4; −2; 0) и C(3; −2; 1). Определить его внутренний угол при вершине B.

Найдём векторы, образующие угол при вершине B: \(\overrightarrow{BA}=A-B=(3;0;4)\), \(\overrightarrow{BC}=C-B=(7;0;1)\).

Их скалярное произведение равно \(3\cdot7+0\cdot0+4\cdot1=25\), а длины — \(|\overrightarrow{BA}|=5\) и \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{50}=5\sqrt2\).

По формуле скалярного произведения \(\cos B=\frac{25}{5\cdot5\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\). Следовательно, \(B=45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).