822. Вычислить внутренние углы треугольника A(1; 2; 1), B(3; −1; 7), C(7; 4; −2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

Сначала найдём длины сторон по координатам:

\(\overrightarrow{AB}=(2;−3;6)\), поэтому \(|AB|=\sqrt{2^2+(−3)^2+6^2}=7\).

\(\overrightarrow{AC}=(6;2;−3)\), поэтому \(|AC|=\sqrt{6^2+2^2+(−3)^2}=7\).

\(\overrightarrow{BC}=(4;5;−9)\), поэтому \(|BC|=\sqrt{4^2+5^2+(−9)^2}=\sqrt{122}\). Так как \(|AB|=|AC|\), треугольник равнобедренный, его основание — BC, а углы B и C равны.

Для угла A: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12−6−18=−12\). Значит, \(\cos A=−\frac{12}{49}\), откуда \(A\approx104.18^\circ\).

Для угла B: \(\overrightarrow{BA}=(−2;3;−6)\), и \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=−8+15+54=61\). Поэтому \(\cos B=\frac{61}{7\sqrt{122}}\), откуда \(B\approx37.91^\circ\). Следовательно, \(C=B\approx37.91^\circ\).

Ответ: треугольник равнобедренный (AB = AC); \(A\approx104.18^\circ\), \(B=C\approx37.91^\circ\).