85. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.

Обозначим \(\angle ABC=\alpha\), а \(\angle CBD=\beta\). Биссектрисы этих углов перпендикулярны, поэтому угол между ними равен \(90^\circ\).

Угол между биссектрисами равен половине суммы исходных углов:

\(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}=90^\circ\).

Умножим равенство на 2:

\(\alpha+\beta=180^\circ\).

Значит, углы \(ABC\) и \(CBD\) — смежные. Их внешние стороны \(BA\) и \(BD\) являются противоположными лучами. Следовательно, точки A, B и D лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.