87. Найдите периметр трапеции ABCD. На рисунке AB = CD = 7, AC — биссектриса угла A, AC ⟂ CD.

Обозначим ∠CAD через α. Так как AC — биссектриса угла A, ∠BAC = α. Из BC ∥ AD следует ∠ACB = ∠CAD = α. Значит, в треугольнике ABC углы при A и C равны, поэтому AB = BC = 7.

Пусть θ = ∠A, тогда α = θ/2. В прямоугольном треугольнике ACD (прямой угол при C) сторона CD = 7 лежит напротив угла α, поэтому AD = 7/sin α. С другой стороны, проекции равных боковых сторон на AD дают AD = BC + 14 cos θ = 7 + 14 cos(2α).

Приравниваем выражения и обозначаем x = sin α: 1/x = 3 − 4x², то есть 4x³ − 3x + 1 = 0. С учётом 0 < α < 90° получаем x = 1/2, следовательно, α = 30°. Тогда AD = 7/sin 30° = 14.

P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 7 + 7 + 7 + 14 = 35.

Ответ: 35.