9) \(1\frac{1}{12} : \left(1\frac{13}{18} - 2\frac{5}{9}\right)\)

Решение:

Сначала выполним вычитание в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

1. \( 1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12} \).
2. \( 1\frac{13}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 13}{18} = \frac{18 + 13}{18} = \frac{31}{18} \).
3. \( 2\frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{18 + 5}{9} = \frac{23}{9} \).
4. Теперь выполним вычитание в скобках: \( \frac{31}{18} - \frac{23}{9} \). Общий знаменатель для 18 и 9 — это 18.
5. Приведем вторую дробь к знаменателю 18: \( \frac{23}{9} = \frac{23 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{46}{18} \).
6. Выполним вычитание: \( \frac{31}{18} - \frac{46}{18} = \frac{31 - 46}{18} = \frac{-15}{18} \).
7. Сократим полученную дробь: \( \frac{-15}{18} = \frac{-15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{-5}{6} \).
8. Теперь разделим первую дробь \( \frac{13}{12} \) на результат вычитания \( \frac{-5}{6} \): \( \frac{13}{12} : \frac{-5}{6} \).
9. Чтобы разделить, умножим первую дробь на дробь, обратную второй: \( \frac{13}{12} \cdot \frac{6}{-5} \).
10. Сократим перед умножением: \( \frac{13}{\cancel{12}^2} \cdot \frac{\cancel{6}^1}{-5} = \frac{13 \cdot 1}{2 \cdot (-5)} = \frac{13}{-10} = -\frac{13}{10} \).
11. Представим в виде смешанной дроби: \( -\frac{13}{10} = -1 \frac{3}{10} \).

Ответ: \( -1 \frac{3}{10} \).