9. Докажите, что значение выражения (36/(√13 − 1) − 12/(√13 − 3) − 2/(1 − √2))(4 + 2√2) является целым числом.

Рационализируем дроби:

\(\frac{36}{\sqrt{13}-1}=\frac{36(\sqrt{13}+1)}{12}=3\sqrt{13}+3\).

\(\frac{12}{\sqrt{13}-3}=\frac{12(\sqrt{13}+3)}{4}=3\sqrt{13}+9\).

\(-\frac{2}{1-\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}-1}=2(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}+2\).

Значение первой скобки:

\[(3\sqrt{13}+3)-(3\sqrt{13}+9)+(2\sqrt{2}+2)=2\sqrt{2}-4.\]

Перемножим:

\[(2\sqrt{2}-4)(4+2\sqrt{2})=8\sqrt{2}+8-16-8\sqrt{2}=-8.\]

Получено целое число.

Ответ: \(-8\).