9. Докажите, что значение выражения 91¹² + 42¹⁰ − 75¹¹ делится на 10.

Чтобы доказать делимость на 10, достаточно показать делимость выражения на 2 и на 5.

По чётности: 91¹² и 75¹¹ нечётны, а 42¹⁰ чётно. Поэтому нечётное + чётное − нечётное — чётное число, то есть выражение делится на 2.

По модулю 5: 91 ≡ 1, 42 ≡ 2, 75 ≡ 0. Тогда 91¹² + 42¹⁰ − 75¹¹ ≡ 1¹² + 2¹⁰ − 0 ≡ 1 + 4 − 0 ≡ 0 (mod 5), так как 2¹⁰ ≡ 4 (mod 5). Значит, выражение делится на 5.

Числа 2 и 5 взаимно просты, поэтому выражение делится на их произведение 10.

Доказано: выражение делится на 10.