9. Докажите, что значение выражения 91⁹¹ + 42⁴² + 85⁸⁵ делится на 10.

1. Рассмотрим последние цифры слагаемых. \(91^{91}\) оканчивается на 1, поэтому \(91^{91}\equiv1\pmod{10}\).
2. Последние цифры степеней числа 2 повторяются с периодом 4: 2, 4, 8, 6. Поскольку \(42\equiv2\pmod4\), получаем \(42^{42}\equiv2^{42}\equiv4\pmod{10}\).
3. Любая положительная степень числа 85 оканчивается на 5: \(85^{85}\equiv5\pmod{10}\).
4. Значит, \(91^{91}+42^{42}+85^{85}\equiv1+4+5=10\equiv0\pmod{10}\).

Ответ: выражение делится на 10.