9. Какое наименьшее двузначное натуральное число при делении на 37 даёт остаток, равный 7?

Решение:

Пусть искомое число равно \( N \). По условию, \( N \) — двузначное натуральное число, \( N = 37q + 7 \), где \( q \) — частное. Нам нужно найти наименьшее такое \( N \).

Так как \( N \) — двузначное, то \( 10 ≤ N ≤ 99 \).

Подставим \( N = 37q + 7 \):

\( 10 ≤ 37q + 7 ≤ 99 \)

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

\( 10 - 7 ≤ 37q ≤ 99 - 7 \)

\( 3 ≤ 37q ≤ 92 \)

Разделим все части на 37:

\( \frac{3}{37} ≤ q ≤ \frac{92}{37} \)

\( 0.08... ≤ q ≤ 2.48... \)

Так как \( q \) — натуральное число (частное), то \( q \) может быть 1 или 2.

Нам нужно найти наименьшее \( N \), поэтому возьмём наименьшее возможное значение \( q \), то есть \( q = 1 \).

\( N = 37 \cdot 1 + 7 = 37 + 7 = 44 \).

Проверим: \( 44 : 37 = 1 \) (остаток 7). \( 44 \) — двузначное число.

Если \( q = 2 \), то \( N = 37 \cdot 2 + 7 = 74 + 7 = 81 \). \( 81 \) — двузначное число.

Наименьшее из найденных чисел — 44.

Ответ: 44