9. На рисунке дан прямоугольник LKEF, FE = 7, FC = 2, ∠FLC = 30°, LC ⟂ FK. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим ширину прямоугольника через FK. В прямоугольном треугольнике LFC угол при L равен 30°, а FC — катет, лежащий напротив этого угла. Поэтому гипотенуза LF = 2·FC = 4.

По теореме Пифагора: FK² = FC² + CK², но для площади удобнее использовать подобие: высота FC к гипотенузе LK в прямоугольном треугольнике LFК даёт FC² = FK·CK. Сначала найдём FK по треугольнику LFC: LF = 4, FC = 2, значит LC = √(4² − 2²) = 2√3. Поскольку LC перпендикулярна FK, треугольник LFC прямоугольный, а его катеты 2 и 2√3.

В прямоугольном треугольнике LFK угол между LF и вертикальной стороной LF задан как 30°; следовательно, горизонтальная сторона FK в этом треугольнике составляет 2·LF·sin 30° = 4. Тогда площадь прямоугольника равна FE·LF = 7·4 = 28.

Ответ: 28.