9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = - х³ + 3x² + 4 на отрезке [-3; 3].

Решение:

Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную и приравняем её к нулю:

\[ Y' = -3x^2 + 6x \]

\[ -3x^2 + 6x = 0 \]

\[ -3x(x - 2) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Обе точки принадлежат отрезку \( [-3; 3] \).

Теперь вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• При \( x = -3 \): \( Y(-3) = -(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4 = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58 \).
• При \( x = 0 \): \( Y(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \).
• При \( x = 2 \): \( Y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 4 = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 \).
• При \( x = 3 \): \( Y(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 4 = -27 + 3(9) + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 \).

Сравнивая полученные значения: 58, 4, 8, 4.

Наибольшее значение функции равно 58.

Наименьшее значение функции равно 4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 58, наименьшее — 4.