9. Площадь между y = 2x - x² и осью Ox.

Решение:

Сначала найдем точки пересечения параболы \( y = 2x - x^2 \) с осью Ox. Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ 2x - x^2 = 0 \]

\[ x(2 - x) = 0 \]

Получаем точки пересечения \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

Парабола \( y = 2x - x^2 \) имеет вид ветвями вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), и она находится выше оси Ox между корнями.

Площадь фигуры будет равна определённому интегралу от функции \( y = 2x - x^2 \) в пределах от 0 до 2:

\[ S = \int_0^2 (2x - x^2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (2x - x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C = x^2 - \frac{x^3}{3} + C \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь равна \( \frac{4}{3} \).