9. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно, ВЕ=8см, АВ=12см, ВК=6см, ВС=9см, ЕК=10см. Чему равна сторона АС?

Решение:

Так как прямая ЕК параллельна стороне АС, то треугольники АВС и ЕВК подобны по двум углам (угол В общий, а углы ВЕК и ВАС, ВКЕ и ВСА равны как соответствующие при параллельных прямых ЕК || АС и секущих АВ и ВС).

По условию подобия, отношение соответствующих сторон равно:

$$\frac{BE}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{EK}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{8 \text{ см}}{12 \text{ см}} = \frac{6 \text{ см}}{9 \text{ см}} = \frac{10 \text{ см}}{AC}$$

Проверим равенство отношений:

$$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Отношения равны, значит, треугольники подобны.

Теперь найдем длину стороны АС, используя отношение:

$$\frac{2}{3} = \frac{10 \text{ см}}{AC}$$

Выразим АС:

$$AC = \frac{10 \text{ см} \times 3}{2}$$

$$AC = \frac{30 \text{ см}}{2}$$

$$AC = 15 \text{ см}$$

Ответ: 15 см