9. Решите уравнение: \( 2x^2 - x + √{x - 3} = √{x - 3} + 45 \).

Задание 9. Решение иррационального уравнения

Нужно решить уравнение \( 2x^2 - x + √{x - 3} = √{x - 3} + 45 \).

Решение:

1. Заметим, что \( √{x - 3} \) присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть \( √{x - 3} \) из обеих частей, при условии, что \( x - 3 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ 3 \).
2. После вычитания \( √{x - 3} \) получим более простое квадратное уравнение: \( 2x^2 - x = 45 \).
3. Перенесём 45 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( 2x^2 - x - 45 = 0 \).
4. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
5. Здесь \( a = 2, b = -1, c = -45 \).
6. \( D = (-1)^2 - 4(2)(-45) = 1 - (-360) = 1 + 360 = 361 \).
7. Найдём квадратный корень из дискриминанта: \( √{361} = 19 \).
8. Теперь найдём корни по формуле \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} \):
9. Первый корень: \( x_1 = \frac{-(-1) + 19}{2(2)} = \frac{1 + 19}{4} = \frac{20}{4} = 5 \).
10. Второй корень: \( x_2 = \frac{-(-1) - 19}{2(2)} = \frac{1 - 19}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5 \).
11. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию \( x ≥ 3 \):
• \( x_1 = 5 \) удовлетворяет условию \( 5 ≥ 3 \).
• \( x_2 = -4.5 \) НЕ удовлетворяет условию \( -4.5 ≥ 3 \).

Ответ: 5