9. Решите уравнение x(x² + 2x + 1) = 6(x + 1).

Задание 9. Решение кубического уравнения

Нужно решить уравнение \( x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1) \).

1. Заметим, что выражение в скобках \( x^2 + 2x + 1 \) — это полный квадрат: \( (x+1)^2 \).

\[ x(x + 1)^2 = 6(x + 1) \]

2. Перенесем всё в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

\[ x(x + 1)^2 - 6(x + 1) = 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( (x + 1) \) за скобки:

\[ (x + 1) [x(x + 1) - 6] = 0 \]

4. Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (x + 1) [x^2 + x - 6] = 0 \]

Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю.

5. Первый множитель:

\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \]

6. Второй множитель — квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Корни исходного уравнения: -1, 2, -3.

Ответ: -3 -1 2