9. У трикутнику АВС: ВН - висота, ∠BAC=30°, BC=4 см, СН=1 см. Знайдіть довжину АН.

Решение:

Розглянемо прямокутний трикутник \( \triangle BHC \).

У \( \triangle BHC \) маємо \( \angle BHC = 90^{\circ} \), \( BC = 4 \) см, \( CH = 1 \) см.

За теоремою Піфагора знайдемо висоту \( BH \):

\( BH^2 + CH^2 = BC^2 \)

\( BH^2 + 1^2 = 4^2 \)

\( BH^2 + 1 = 16 \)

\( BH^2 = 15 \) \( \implies \) \( BH = \sqrt{15} \) см.

Тепер розглянемо прямокутний трикутник \( \triangle ABH \).

У \( \triangle ABH \) маємо \( \angle BHA = 90^{\circ} \), \( BH = \sqrt{15} \) см, \( \angle BAH = 30^{\circ} \).

Ми можемо знайти \( AH \) за допомогою тангенса:

\( \tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{15}}{AH} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{AH} \)

\( AH = \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15 \cdot 3} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \) см.

Відповідь: \( 3\sqrt{5} \) см.