9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. а) Выпишите все элементарные исходы этого опыта, благоприятствующие событию «орел выпал хотя бы три раза». б) Найдите вероятность события «орел выпал два раза».

Решение:

а) Элементарные исходы для события «орел выпал хотя бы три раза»:

Под «хотя бы три раза» понимается выпадение орла 3 раза или 4 раза.

Обозначим «О» — орел, «Р» — решка.

Всего в эксперименте 4 броска. Количество элементарных исходов равно $$2^4 = 16$$.

Исходы, где орел выпал ровно 3 раза:

Это случаи, когда одна решка из четырех бросков.

• ООРР
• ОРОР
• ОРОО
• РООО

Исходы, где орел выпал ровно 4 раза:

• ОООО

Следовательно, элементарные исходы, благоприятствующие событию «орел выпал хотя бы три раза», следующие:

• ОооР
• Ооро
• Ороо
• Рооо
• Оооо

б) Вероятность события «орел выпал два раза»

Это испытание Бернулли, где:

• $$n = 4$$ (количество бросков)
• $$k = 2$$ (желаемое количество орлов)
• $$p = 0.5$$ (вероятность выпадения орла)
• $$q = 0.5$$ (вероятность выпадения решки)

Используем формулу биномиальной вероятности: $$P_n(k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k}$$

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$ (количество сочетаний).

$$p^k = (0.5)^2 = 0.25$$

$$q^{n-k} = (0.5)^{4-2} = (0.5)^2 = 0.25$$

$$P_4(2) = 6 \times 0.25 \times 0.25 = 6 \times 0.0625 = 0.375$$

Ответ:

а) ОооР, Ооро, Ороо, Рооо, Оооо

б) 0.375